Несмотря на то что «бумажный договор» не был подписан, факт заключенности сделки теоретически можно установить.
Теоретически даже просто получение аванса в размере 10% уже увеличивает ваши шансы по признанию сделки заключенной, но как единственный аргумент, пожалуй, все-таки слабоват.
Поэтому если вы выбрали свою профессию и планируете в ней развиваться, обратитесь к толковому юристу. Попросите сделать для вас шаблон договора (или несколько вариаций) и попросите объяснить, как с ним правильно работать и что делать в случае, если что-то пошло не по плану.